Séminaire M2 AAG d’Orsay

Le mercredi à 16h30

Salle 225-227, bâtiment 425, Orsay

Organisateur: Martin Orr

C’est un séminaire pour les étudiants en M2 Arithmétique, Analyse et Géométrie à l’Université Paris-Sud, Orsay.
Le séminaire est maintenant terminé pour 2010.

Juin 2010

9 juin
Martin Orr
La conjecture de Mumford-Tate
Soit $A$ une variété abélienne sur un corps de nombres $K$. Du côté géométrique, on a la cohomologie de de Rham de $A$, consideré comme variété sur $\mathbb{C}$, qui est munie d’une structure de Hodge. Du côté arithmétique, on a la cohomologie $\ell$-adique de $A$, qui donne des représentations de $\mathop{\mathrm{Gal}}(\bar{K}/K)$. Il y a un théorème de comparaison entre ces groupes de cohomologie, mais on voudrait relier les structures supplémentaires (structure de Hodge, représentations galoisiennes). La conjecture de Mumford-Tate propose une telle relation. Dans l’exposé, j’expliquerai les objets qui apparaissent dans la conjecture et dirai quelques mots sur les cas connus.
2 juin
Arne Smeets
Zéros de formes $p$-adiques
On donnera un survol des résultats concernant la conjecture d’Artin: si $f_1,f_2,\,\cdots,f_r \in \mathbb{Q}_p[X_1,X_2,\,\cdots,X_n]$ sont des formes homogènes et si $n > \sum_{i = 1}^r \text{deg}(f_i)^2$, alors le système d’équations $f_1 = f_2 = \cdots = f_r = 0$ a une solution non-triviale (dans $\mathbb{Q}_p^n$). On discutera en particulier les résultats récents (de Heath-Brown) concernant les systèmes de formes quadratiques et la calculation de l’invariant $u$ d’un corps de fonctions $p$-adique (par Leep).

Mai 2010

26 mai
Li Wang
An introduction to derived categories
J.L. Verdier introduced the derived category in his thesis, under the supervision of A. Grothendieck. The derived category approach is a very useful technique in algebraic geometry. In this lecture, I’ll try to explain the construction of this seemingly abstract staff with examples and little proofs. One is encouraged to read the book “Fourier-Mukai transform in algebraic geometry” by D. Huybrechts.
19 mai
Lorenzo Fantini
Une introduction naive aux espaces de Berkovich
La théorie des espaces de Berkovich, développée vers la fin des années quatre-vingts, nous permet de faire de la géométrie analytique p-adique d’une façon très agréable. Plutôt que de donner une longue liste de définitions et de lemmes pénibles, je vais raconter avec des exemples quelques-unes des idées à la base de la théorie. En particulier, je vais expliquer comment on peut associer à chaque variété algébrique son “analytifié”; je m’étendrai sur le cas de la droite projective de Berkovich. Finalement j’aborderai le sujet des courbes, leurs réductions et leur homotopie.
12 mai
Samuel Baumard
Multizêtas, multizêtas formelles, algèbre de double mélange (notes)
Les nombres multizêtas (dont l’étude remonte à Euler) généralisent les valeurs de la fonction zêta de Riemann. Ils vérifient deux types de relations, qui permettent de voir de deux façons différentes le produit de deux multizêtas comme une somme de multizêtas. On peut aussi en définir une version formelle pour oublier les problèmes de transcendance. Le but de cet exposé est de donner un aperçu très élémentaire de cette théorie; si le temps le permet, on parlera aussi plus en détail de l’algèbre de double mélange $\mathfrak{ds}$, version duale des algèbres de multizêtas, dans laquelle se produisent de mystérieux phénomènes arithmétiques.
5 mai
Javier Fresan
La catégorie des motifs purs de Chow
Il y a 40 ans Grothendieck a introduit le yoga des motifs avec le but de trouver une théorie cohomologique universelle généralisant toutes les cohomologies de Weil. Dans cet exposé on parlera de l’avatar le plus simple du rêve grothendieckien: la catégorie des motifs pur de Chow.

Avril 2010

28 avril
Giancarlo Lucchini Servetto
Une petite introduction à la cohomologie des groupes finis (notes)
Je vais définir la cohomologie des groupes finis d’une façon élémentaire au moyen des cochaînes (sans utiliser des mots comme “catégorie” ou “foncteur dérivé”). Je vais essayer de rendre visible l’information sur le groupe $G$ qui est cachée dans les $H^n(G,-)$ en regardant l’exemple particulier de $H^2(G,A)$, qui s’identifie (on montrera) au groupe $\mathrm{EXT}(A,G)$ des extensions du groupe abélien $A$ par $G$. Si le temps le permet, je parlerai aussi d’une caractérisation de $H^1(G,-)$ qui peut même s’étendre à la cohomologie non-abélienne.
21 avril
Giovanni Rosso
Formes modulaires et algèbres de Hecke
Je vais donner une première introduction aux formes modulaires: définition, théorèmes de finitude et algébricité de leur espace, leur fonction L. En suite on définira des opérateurs sur cet espace, les opérateurs des Hecke, et on donnera un theorem de dualité. Si on aura le temps, on donnera une interprétation cohomologique des formes modulaires.
14 avril
Valentina Sala
Introduction to algebraic stacks, definition and motivations
It is not very hard to explain what a Stack is, thinking about it as a natural generalization of the concept of Space (= sheaf) on a Grothendieck site (=category with Grothendieck Topology). It’s a bit harder to introduce Algebraic Stacks, and I will not try to do this in just one hour (maybe later at the cafeteria). I’ll give at least a general idea of the nature of these objects talking about their close relatives, the Algebraic Spaces. I will also try to introduce briefly some examples from where, in geometry, algebraic stacks and spaces naturally arise.
7 avril
Zhe Sun
Le lien entre l’énumération des revêtements ramifiés et la théorie des représentations dans $U_N$
Je vais parler du ribbon graph sur la surface de Riemann, et la connexion (holonomy) discrète sur ce graph (d’après Migdal 1975). Dans ce cas-là, la théorie des représentations dans $U_N$ entraine l’énergie libre (fonction de partition) de $U_N$ sur la surface de Riemann. Puis je vais parler de l’énumération des revêtements ramifiés des surfaces de Riemann d’après Hurwitz. Finalement, les liens entre les deux: c’est le resultat de Gross et Taylor: Quand $N$ converge vers infini, l’énergie libre de $U_N$ sur la surface de Riemann converge vers l’énergie libre de l’énumération des revêtements ramifiés des surfaces.

Mars 2010

31 mars
Javier Fresan
Zêta-régularisation des produits infinis
Dans cet exposé on donnera un sens à l’affirmation “Le produit de tous les nombres premiers vaut $4\pi^2$” et on déduira une nouvelle démonstration de l’infinitude des nombres premiers suivant un article de Muñoz García et Pérez Marco.
24 mars
Arne Smeets
Le monstre est groupe de Galois sur $\mathbb{Q}$
Le but de mon exposé est d’expliquer la méthode de rigidité pour le problème de Galois inverse, qui permet de réaliser certains groupes finis simples - par exemple le monstre de Fischer et Griess - comme groupe de Galois d’une extension galoisienne de $\mathbb{Q}$. Les outils essentiels seront les notions de revêtement et de groupe fondamental étale d’une courbe algébrique, qui seront introduites au début de l’exposé. Les prérequis sont des connaissances minimales de la géométrie algébrique classique, la théorie de Galois et la théorie du groupe fondamental topologique.
17 mars
Martin Orr
La multiplication complexe et le corps de classes de Hilbert (notes)
La théorie de la multiplication complexe relie l’arithmétique de certaines courbes elliptiques et les extensions abéliennes des corps quadratiques imaginaires. Cet exposé sera une introduction à cette jolie théorie, et je démontrerai que le corps de classe de Hilbert d’un corps quadratique imaginaire est engendré par le j-invariant d’une courbe elliptique associée. Une connaissance de base des courbes elliptiques serait utile, mais j’expliquerai les résultats nécessaires de la théorie du corps de classes, évitant les idèles.